LIBROS QUE CAMBIARON LA HISTORIA: LOS PRINCIPIA DE NEWTON (V)

El Sistema del Mundo newtoniano: los Principia

El recorrido que hemos efectuado nos permite entender cuál era la situación con la que se encontró Newton y, al mismo tiempo, identificar a los gigantes a los que se refiere su famosa y tantas veces repetida afirmación: Si he visto más lejos ha sido porque me he aupado a hombros de gigantes. Carta a Robert Hooke, 5 de febrero de 1676.

¿Qué vio el sabio inglés?

La percepción que sobre el modo de acercarse a la filosofía natural, es decir, sobre el método científico, se tiene en los tiempos de Newton aparece reflejado en el Prefacio que Roger Cotes escribió para la edición de los Principia:

Los que han abordado la filosofía natural pueden reducirse a tres clases aproximadamente. De entre ellos, algunos [los escolásticos, herederos de Aristóteles y los peripatéticos] han atribuido a las diversas especies de cosas cualidades ocultas y específicas, de acuerdo con lo cual se supone que los fenómenos de cuerpos particulares proceden de alguna manera desconocida. Estos autores afirman que los diversos efectos de los cuerpos surgen de las naturalezas particulares de esos cuerpos. Pero no nos dicen de donde provienen esas naturalezas y, por consiguiente, no nos dicen nada. Como toda su preocupación se centra en dar nombres a las cosas, en vez de buscar en las cosas mismas, podemos decir que han inventado un modo filosófico de hablar, pero no que hayan dado a conocer una verdadera filosofía.

Otros [se refiere inequívocamente a los cartesianos] han intentado aplicar sus esfuerzos mejor, rechazando ese fárrago inútil de palabras. Suponen que toda materia es homogénea, y que la variedad de formas percibida en los cuerpos surge de algunas afecciones muy sencillas y simples de sus partículas componentes. Y procediendo de las cosas sencillas a las más compuestas toman con certeza un buen camino, siempre que no atribuyan a esas afecciones ningún modo distinto al atribuido por la propia Naturaleza. Pero cuando se toman la libertad de imaginar arbitrariamente figuras y magnitudes desconocidas, situaciones inciertas y movimientos de las partes, suponiendo además fluidos ocultos capaces de penetrar libremente por los poros de los cuerpos, dotados de una sutileza omnipotente y agitados por movimientos ocultos, caen en sueños y quimeras despreciando la verdadera constitución de las cosas, que desde luego no podrá deducirse de conjeturas falaces cuando apenas si logramos alcanzarla con comprobadísimas observaciones. Los que parten de hipótesis, como primeros principios de sus especulaciones –aunque luego procedan con la mayor precisión a partir de esos principios– pueden desde luego componer una fábula ingeniosa, pero no dejará de ser una fábula.

Queda entonces la tercera clase, que se aprovecha de la filosofía experimental. Estos pensadores deducen las causas de todas las cosas de los principios más simples posibles, pero no asumen como principio nada que no esté probado por los fenómenos. No inventan hipótesis, ni las admiten en filosofía, sino como cuestiones cuya verdad puede ser disputada. Proceden así siguiendo un método doble, analítico y sintético. A partir de algunos fenómenos seleccionados deducen, por análisis, las fuerzas de la naturaleza y las leyes más simples de las fuerzas; y desde allí, por síntesis, muestran la constitución del resto. Ese es el modo de filosofar, incomparablemente mejor, que nuestro célebre autor ha abrazado con toda justicia prefiriéndolo a todo el resto, por considerarlo el único merecedor de ser cultivado y adornado por sus excelentes trabajos. Y del mismo nos ha proporcionado un ejemplo ilustrísimo mediante la explicación del Sistema del Mundo, deducida felicísimamente de la teoría gravitatoria. Otros sospecharon o imaginaron antes que el atributo de la gravedad se encontraba en todos los cuerpos, pero él ha sido el primer y único filósofo que pudo demostrarlo a partir de lo aparente, convirtiéndolo en un sólido cimiento para las especulaciones más nobles.

Es en los Principia donde Newton aplica el método antes reseñado y al contenido de este tratado vamos a dedicar el resto de la exposición. La amplitud del tema nos obligará a prescindir de muchos detalles y aspectos, y a centrarnos en el camino que va desde el tratamiento matemático de las fuerzas centrípetas hasta la identificación física de éstas, primero como fuerzas atractivas y luego como fuerzas de atracción gravitatoria. Será entonces cuando podrá afirmarse que las dos preguntas, aparentemente distintas, que habían traído de cabeza a una pléyade de filósofos naturales –¿qué mueve a los planetas?, ¿qué mueve a los proyectiles?–, tienen una respuesta única, una causa común: la atracción gravitatoria. Tierra y cielos aparecerán unificados, descritos por las mismas leyes.

Desde el Prefacio a la primera edición Newton enuncia cuál va a ser el núcleo de su trabajo:

En este sentido, la mecánica racional será la ciencia de los movimientos resultantes de cualesquiera fuerzas, y de las fuerzas requeridas para producir cualesquiera movimientos, propuestas y demostradas con exactitud.

Sintetiza en este enunciado explícito los que, más tarde, se conocerán como problemas directo e inverso de la mecánica:

• Problema directo: Dadas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, obtener el movimiento que resulta.
• Problema inverso: Dado el movimiento de un cuerpo, obtener las fuerzas responsables de ese movimiento. 

     Estos dos problemas que los alumnos aprenden a resolver en cualquier curso de mecánica están, por otra parte, íntimamente relacionados con las dos operaciones centrales del cálculo infinitesimal: la integración y la derivación.

     En efecto, en el primer caso, problema directo, la ecuación fundamental de la dinámica F = ma nos permite, conocidas las fuerzas, obtener la aceleración a y, a partir de ella, por un proceso de integración sucesiva, primero v y luego r.

     En el segundo caso, problema inverso, lo conocido es r, de forma que ahora son v y a las que se obtienen por derivaciones sucesivas para, luego, a partir de esta última obtener F.  

Más adelante prosigue Newton en estos términos:

Ofrezco esta obra como principios matemáticos de la filosofía [es obvio que en el sentido de ciencias de la naturaleza], pues toda la dificultad de la filosofía parece consistir en pasar de los fenómenos de movimiento a la investigación de las fuerzas de la Naturaleza, y luego demostrar los otros fenómenos a partir de esas fuerzas; a ello se dirigen las proposiciones generales de los dos primeros libros. En el tercero proporciono un ejemplo de esto en la explicación del Sistema del Mundo; pues mediante las proposiciones matemáticamente demostradas en los libros precedentes, deduzco, en el tercero, de los fenómenos celestes, las fuerzas de gravedad con las que los cuerpos tienden hacia el Sol y los diversos planetas. Luego, a partir de esas fuerzas, mediante otras proposiciones igualmente matemáticas, deduzco los movimientos de los planetas, los cometas, la luna y el mar.

La cita continúa con lo que dará en llamarse más tarde Programa de Newton. En él se define un vasto, pero nítido, programa de investigación cuyo objetivo último es desentrañar las claves del universo, cuestión ésta que para Newton permanece abierta:

Me gustaría que pudiésemos deducir el resto de los fenómenos de la Naturaleza siguiendo el mismo tipo de razonamiento a partir de principios mecánicos. En efecto, muchas razones me inducen a sospechar que todos ellos pueden depender de ciertas fuerzas de cuya virtud las partículas de los cuerpos – por causas hasta hoy desconocidas – se ven mutuamente impelidas unas hacia otras y se unen en figuras regulares, o son repelidas y se alejan unas de otras. Siendo desconocidas estas fuerzas, los filósofos han investigado en vano la Naturaleza hasta hoy; pero espero que los principios aquí expuestos arrojarán cierta luz sobre este método de filosofar, o sobre alguno más veraz.

Quizás la propuesta era, entonces, prematura – aunque el mismo Newton la aplicó, en la Proposición XXIII del libro II, a una incipiente teoría cinética de los gases – pero no cabe la menor duda de que resultó acertada y enormemente productiva.

La obra magna de Newton consta de tres libros.

En el primero se estudia el movimiento de los cuerpos en el vacío y puede ser conceptuado como un tratado de mecánica racional en el sentido que más arriba, y en sus propias palabras, hemos indicado. Su acercamiento a los problemas del movimiento es altamente idealizado, cercano en gran medida a un texto matemático: los objetos móviles son puntos materiales sin dimensiones sobre los que, en primera instancia, se ejercen acciones centrípetas hacia un “centro inmóvil”, bien sobre un solo objeto o bien sobre un conjunto de ellos, y de este estudio concluye que todo cuerpo sometido a una fuerza centrípeta que varía como el inverso del cuadrado de la distancia cumple las tres leyes de Kepler. La introducción de la ley de acción y reacción le obliga a sustituir el “centro de fuerza” por otro punto material y a considerar el problema del movimiento de dos cuerpos en interacción mutua. La fuerza centrípeta cede paso a las fuerzas de atracción mutua y el estudio se hace más complejo aunque aun resulte abordable, situación que ya no se da al introducir un cuerpo adicional.

En el segundo se analizan los efectos producidos por medios resistentes y es, en cierta medida, una primera y novedosa aproximación a la hidrodinámica que tiene como pretensión última refutar, vía tratamiento matemático, a Descartes.

En el tercero, finalmente, se construye, basándose en los resultados previos, un nuevo Sistema del Mundo. Este texto puede ser catalogado como un trabajo de mecánica celeste donde el modelo utilizado para describir los objetos móviles se hace más real, resulta, pues, más físico y a su término la fuerza de atracción mutua acabará asimilándose a una fuerza de persistente acción en el ámbito de nuestro cercano mundo de experiencias llamada gravedad. En este libro va a hacer un uso intensivo tanto de las observaciones astronómicas como de las experiencias mecánicas asociadas a la caída de graves.

La tarea que se propone es, sin duda, ingente porque para darle cima necesita construir una nueva ciencia – la dinámica – sumida hasta entonces en una enorme confusión.

Se abre el tratado, en la más pura ortodoxia del método hipotético-deductivo con un conjunto de definiciones terminológicas, de bastante calado, que van desde las de masa y cantidad de movimiento hasta las de espacio y  tiempo.

A esta introducción le sigue un apartado en el que se explicitan las leyes o axiomas del movimiento, soporte sobre el que construirá el entramado de su edificio, al que siguen seis corolarios.

Axiomas o leyes del movimiento:

Ley primera: Todo cuerpo persevera en su estado de reposo o de movimiento uniforme en línea recta, salvo que se vea forzado a cambiar ese estado por fuerzas impresas.

Ley segunda: El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresa y se hace en la dirección de la línea recta en la que se imprime esa fuerza.

Ley tercera: Para toda acción hay siempre una reacción opuesta e igual. Las acciones recíprocas de dos cuerpos entre sí son siempre iguales y dirigidas hacia partes contrarias.

Aparecen enunciados con claridad el principio o ley de inercia, la conexión entre fuerza, o con más exactitud impulso, y cambio de movimiento –más tarde conocida como ley fundamental de la dinámica– y el principio de acción – reacción.

La lectura del tratado muestra la importancia que juegan las denominadas leyes de Kepler en la articulación de su sistema del mundo pero, como ha puesto de manifiesto con claridad I. Bernard Cohen, bajo ningún concepto Newton dedujo la ley de gravitación a partir de ellas.

Por la importancia que con posterioridad va a adquirir enunciamos la Proposición I:

Las áreas que los cuerpos en revolución describen mediante radios trazados hasta un centro de fuerzas inmóvil se encuentran en los mismos planos inmóviles y son proporcionales a los tiempos en los que se describen.

En esta proposición, que Newton sólo incorporó al texto final de los Principia tras una profunda depuración de sus ideas previas – claramente influidas por sus predecesores – y bajo el estímulo de la invitación de Hooke a la que nos hemos referido anteriormente, se prueba que un objeto puntual sometido a la acción de una serie de impulsos centrípetos cumple la segunda ley de Kepler. Su ubicación preferente en el conjunto del libro muestra el rango que Newton le concede y explica el papel que desde entonces jugará – igualando al que ya disfrutaban las otras dos leyes – en la presentación de los sistemas astronómicos.

De las proposiciones que aparecen en los Principia hay algunas de especial relevancia por la significación que tienen en el proceso de obtención de la ley de gravitación universal y en ellas vamos a centrarnos.

Una de ellas es la Proposición XI, en la que Newton, en cierto modo, se hace eco de la pregunta que Halley le hizo en 1684: ¿Cuál es la curva que describirían los planetas suponiendo que la fuerza de atracción hacia el Sol variara con el inverso del cuadrado de la distancia que los separa?.

El texto de la proposición–problema reza así: Si un cuerpo gira en una elipse: encuéntrese la ley de la fuerza centrípeta que tiende hacia el foco de la elipse.

Las proposiciones que hemos analizado van suministrando pistas sobre la naturaleza de la fuerza: la primera de ellas muestra que la ley de las áreas exige una fuerza central y la segunda que la forma de las órbitas obliga a una dependencia con la distancia de la forma 1/r². De cualquier modo, en ambas se plantea el problema en términos estrictamente matemáticos sin que se haya hecho intervenir ninguna ley de atracción entre cuerpos.

Así lo reconoce el mismo Newton quien abre el libro III en estos términos:

En los libros precedentes he puesto los fundamentos de los principios de la filosofía; principios no filosóficos sino matemáticos, a partir de los cuales tal vez se pueda disputar sobre asuntos filosóficos. Tales son las leyes y condiciones de los movimientos y las fuerzas, que en gran medida atañen a la filosofía. […] Nos falta mostrar, a partir de estos mismos principios, la constitución del sistema del mundo.

Los protagonistas de este libro pasan a ser los objetos reales, extensos, que constituyen el Sistema Solar y la trama del relato tiene como argumento la conversión de la fuerza de atracción en fuerza de atracción gravitatoria. Se alcanza así un final feliz y cielo y Tierra acaban unificados al ser descritos por una única física. 

La existencia de una ley general de atracción entre los cuerpos requerirá varios pasos que tienen como soporte, por un lado, al afianzamiento de la convicción de la naturaleza similar de todos los objetos del Universo –convicción ésta que procuraba la influyente visión atomista– y, por otro, al hecho de que la atracción entre cuerpos resultara no depender de la naturaleza, de las cualidades distintas, de la materia sino de su cantidad, de la masa –avalaba esta idea el extraño comportamiento de los cuerpos en caída libre así como la igualdad de los periodos de oscilación de diferente material pero idéntica masa. A ello hay que añadir las implicaciones que se infieren del cumplimiento de la ley de acción y reacción que exige un tratamiento similar para los dos (o más) cuerpos interactuantes.  

De importancia fundamental para transformar el tratamiento matemático –de centros de fuerza o de puntos materiales– en un problema físico –de cuerpos extensos– resultará la Proposición LXXI:

Suponiendo las mismas cosas [que hacia cada punto de una superficie esférica tienden fuerzas centrípetas que decrecen como el cuadrado de las distancias desde esos puntos], afirmo que un corpúsculo situado fuera de la superficie esférica es atraído hacia el centro de la esfera con una fuerza inversamente proporcional al cuadrado de su distancia al centro.    

De acuerdo con este resultado es posible extender a los cuerpos extensos de forma esférica los teoremas y proposiciones obtenidos para puntos materiales.

En el proceso de elaboración de los Principia, y muy en particular en la del Libro III, Newton hace un uso intensivo de las observaciones astronómicas que, entre otros, le suministra el astrónomo real Flamsteed. En estos términos se dirige a él en una ocasión: Su información acerca de los satélites de Júpiter me produce una gran satisfacción, y más adelante añade: Intento determinar las trayectorias descritas por los cometas de 1664 y 1680 de acuerdo con los principios de movimiento observados por los planetas.

Esta información que solicita, atestigua que en el proceso de análisis se va perfilando no sólo la convicción de que existe una ley de atracción que varía con el inverso del cuadrado de la distancia al objeto central sino que, además, esa ley de atracción es universal y está relacionada con la fuerza que ha venido denominándose gravedad. 

La lectura de las proposiciones III y IV del libro que estamos comentando es especialmente significativa en este proceso de tránsito.

Así reza la Proposición III:

La fuerza con la que la Luna es retenida en su órbita se dirige hacia la Tierra y es inversamente como el cuadrado de la distancia de los lugares al centro de la Tierra.

Y así la Proposición IV:

La Luna gravita hacia la Tierra y es continuamente desviada del movimiento rectilíneo y retenida en su órbita por la fuerza de la gravedad.

Entre una y otra Newton da el “gran paso” atreviéndose a identificar lo que es una simple fuerza de atracción central, cuya dependencia con la distancia es ya conocida, con otra, la gravedad, que tiene nombre y apellidos. Conecta, así, las dos preguntas que habían sido objeto, hasta entonces, de especulaciones y respuestas múltiples.

Para establecer esta identificación Newton hace uso de lo que se ha dado en llamar la prueba de la Luna; prueba que consiste en calcular cuál sería la “caída” de este satélite hacia la Tierra, respecto a su trayectoria rectilínea por la tangente, si se admitiese que la gravedad, como así sucede, varía en razón inversa con el cuadrado de la distancia.

La aplicación de sus Reglas para filosofar – Regla Primera: No debemos, para las cosas naturales, admitir más causas que las verdaderas y suficientes para explicar sus fenómenos y Regla Segunda: Por consiguiente, debemos asignar tanto como sea posible a los mismos efectos las mismas causas – le permite extrapolar este resultado al resto de los subsistemas planeta – satélite así como al sistema solar en su conjunto. La gravitación deviene, pues, universal.

En las proposiciones siguientes Newton acaba de perfilar la forma final de esta fuerza de interacción mutua entre cuerpos.

Proposición VI:

Que todos los cuerpos gravitan hacia todos los planetas, y que los pesos de los cuerpos hacia cualquier planeta, a distancias iguales del centro del planeta, son proporcionales a las cantidades de materia que respectivamente contienen.

Proposición VII:

Que el poder de la gravedad pertenece a todo cuerpo en proporción a la cantidad de materia que cada uno contiene.

Expresado de forma concisa:

F_MM´ = G (MM´/r²) u_r

Las masas que aparecen en la expresión anterior recibirán el nombre de masa gravitacional y están relacionadas con su capacidad para generar fuerza; son, pues, conceptualmente distintas a la masa que aparece en la llamada ley fundamental de la Dinámica que, conocida como masa inercial, esta relacionada con la resistencia a los cambios de movimiento bajo la acción de las fuerzas. Ambas, no obstante, resultan tener el mismo valor como pone de manifiesto, por ejemplo, el hecho de que todos los cuerpos graves caigan con idéntica aceleración. La potencia intelectual de Newton resultaría insuficiente para resolver el enigma que esta igualdad supone.

La teoría general de la Relatividad se enfrentaría, siglos después, a este desafío. Pero, esa es otra historia.